Como Calcular A Altura De Um Triangulo

Dessa forma, se for dado a medida de um dos lados, sabemos que todos os demais são iguais.

Desvendando o mistério: Como calcular a altura de um triângulo equilátero de forma simples e rápida!

Como calcular a altura de um triângulo equilátero? Aprenda de 4 formas diferentes!

O triângulo equilátero é um dos tipos mais comuns de triângulo que existem, por isso aparece tanto nas provas! Ainda assim, muitos estudantes travam na hora de saber como calcular a altura de um triângulo equilátero… Por isso, nós vamos te mostrar 4 formas de fazer isso.

Neste artigo, você irá entender cada método e pode memorizar aquele que tiver mais afinidade. Até porque, as questões vão te dar dados diferentes e aí você terá que jogar naquele jeito que melhor se encaixar.

Pode parecer muita coisa, mas fizemos uma explicação cheia de exemplos e com linguagem simples para você aprender do zero. Vamos lá desvendar esse mistério?

Neste artigo explicando como achar a altura de um triângulo equilátero, você encontrará todos os temas abaixo. Clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:

1. Introdução ao triângulo equilátero: características úteis!
2. Primeiro jeito: um caminho simples e fácil usando Teorema de Pitágoras
3. Segundo jeito: como calcular a altura de um triângulo equilátero usando a fórmula
4. Terceiro jeito: como calcular a altura de um triângulo qualquer?
5. Quarto jeito: a trigonometria básica ajuda a calcular a altura do triângulo retângulo.

Introdução ao triângulo equilátero: características úteis

Isso porque ele tem muitas características iguais que se repetem, então entrega o raciocínio e facilita nossa vida. Mas só quem realmente entende suas propriedades é que consegue interpretar.

Por isso, vamos relembrar suas 3 características essenciais a seguir!

Lados iguais

A própria palavra equilátero já nos conta sobre essa propriedade: “equi = igual” e “látero = lado”

Dessa forma, se for dado a medida de um dos lados, sabemos que todos os demais são iguais.

Você sabia que no triângulo isósceles somente dois lados são iguais e o terceiro é sempre diferente?

Ângulos iguais

Não importa o tamanho do triângulo equilátero, se você usar um transferidor (medidor de ângulos), sempre encontrará o mesmo valor para todos os seus ângulos!

Isso acontece por um motivo: para que todos os lados iguais se encontrem em um formato perfeito, os ângulos precisam estar igualmente divididos também.

E isso nos leva a afirmar uma coisa: se em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é 180°, e no triângulo equilátero todos os ângulos são iguais, então podemos fazer 180°/3 = 60°.

Logo, todos os ângulos de um triângulo equilátero sempre medirão 60°.

E assim chegamos a um novo conceito: ele é equiângulo.

Alturas iguais

Adivinhe só, se tudo nesse triângulo é igual, agora não seria diferente.

Não importa a partir de qual lado você trace a altura, elas sempre serão iguais!

Lembre-se: altura é um segmento de reta que forma um ângulo reto (90°) com a superfície.

1° O caminho mais seguro: Teorema de Pitágoras

Agora que já relembramos o básico, já podemos começar a falar sobre como descobrir a altura do triângulo equilátero.

Vamos fazer uma breve explicação sobre ele e já partir para o exemplo!

O que é o Teorema de Pitágoras?

Você deve estar pensando então como usaremos isso no triângulo equilátero… A resposta está na imagem logo adiante!

Antes, vamos só relembrar a fórmula desse teorema:

cat² + cat² = hip²

• A hipotenusa (hip) é o lado oposto ao ângulo reto, ou seja, é o maior lado de um triângulo retângulo.
• Os catetos(cat) são os lados restantes, ou seja, os lados adjacente ao ângulo reto.

Como calcular a altura de um triângulo equilátero usando Pitágoras? 3 passos!

• 1° Passo: devemos traçar a altura do triângulo equilátero. Lembrando que ela parte do vértice superior e vai até o meio da base do lado oposto, coincidindo com a mediana.
• 2° Passo: observe que formamos dois triângulos retângulos iguais dentro do equilátero. É para isso que traçamos a altura, já que ela sempre forma 90° com a superfície.
• 3° Passo: Agora, podemos usar o teorema: cat² + cat² = hip². Basta substituir cada informação no seu lugar!

Lembre-se: nessa fórmula, a altura (h) ocupa o lugar de um dos catetos (cat).

2° A fórmula da altura do triângulo equilátero

Talvez você já tenha aprendido e esquecido… Mas existe uma fórmula específica para calcular a altura de um triângulo equilátero, e só funciona nessa figura.

Pode parecer coincidência, mas ela foi tirada do Teorema de Pitágoras. Assim, se você souber o primeiro jeito, não esquecerá este segundo!

Deduzir uma fórmula é entender qual o raciocínio usado para chegar nela… E a história dessa fórmula é a seguinte: um matemático já sabia usar Pitágoras para calcular a altura, mas ele só usava números.

Aí ele resolveu substituir os números pelas letras que representam as partes do triângulo equilátero. E chegou a uma fórmula geral:

Atenção: Ela nos ajuda a achar o valor da altura (h) se tivermos o lado (x). Basta substituir os valores dados na questão e teremos a resposta!

Exemplo com números e solução:

• 1) Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado 4cm.

Solução 1: se tiver decorado a fórmula geral, basta colocar o 4 no lugar do x:

h = 2√3

Solução 2: se esqueceu da fórmula, pode usar o Pitágoras mesmo:

cat² + cat² = hip²

h = √12 (simplificando = 2√3)

3° Como calcular a altura de um triângulo qualquer?

Nós falamos assim: “área é igual à base vezes a altura dividido por 2 “.

Que pode ser escrito como:

A = (b.h)/2

• A = área do triângulo.
• b = comprimento da base do triângulo (a base é onde a altura se encontra e forma 90º).
• h = Altura do triângulo (Sai de um vértice e forma 90º com a base).

Se você tiver os valores da base e da área, basta substituir na fórmula para encontrar a altura!

“E como eu acho a área e a base?”

A base é muito simples: ela é a medida de qualquer um dos lados, porque nesse triângulo tudo é igual! Mas, por definição, base é o lado que recebe o ângulo formado quando traçamos a altura.

Agora olha que coisa louca: para encontrar a área nós precisamos da altura. Mas a altura é justamente o que já estávamos procurando nessa situação!

Então não tem jeito… você só consegue usar a fórmula da área para encontrar a altura se o valor da área e do lado forem dados. Se não, você terá que encontrar a altura usando o Pitágoras ou a fórmula específica que ensinamos aí para trás!

4° Para os curiosos: trigonometria básica no triângulo equilátero e sua altura

Nós sabemos, muita gente tem birra da trigonometria. Mas não precisa ser assim, ela é mais legal do que aparenta! Além do mais, nós vamos trabalhar só com a parte básica.

A trigonometria é uma ferramenta da matemática que leva em conta os ângulos e os lados que formam ele.

Você lembra das relações de semelhança nos triângulos? A ideia que a trigonometria traz é parecida: sempre que pegarmos dois valores específicos e dividimos eles, nos dará um mesmo resultado.

Assim, podemos estabelecer três relações trigonométricas:

• Seno: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o cateto (lado) oposto a ele e dividimos pela hipotenusa.
• Cosseno: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o lado que encosta nele (adjacente) e dividimos pela hipotenusa.
• Tangente: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o cateto oposto e dividimos pelo adjacente.

Viu? Tudo tranquilo. Agora vamos ver como podemos usar isso para achar a altura:

Como calcular a altura de um triângulo equilátero usando trigonometria?

Você lembra que em todo triângulo equilátero todos os ângulos medem 60°. Então podemos fazer assim:

• 1° Passo: novamente devemos traçar a altura no t. equilátero. Aí teremos dois t. retângulos.
• 2° Passo: logo percebemos que, por se tratar de um triângulo equilátero, a altura será também a bissetriz (divide o ângulo em duas partes iguais). Também será a mediana da base (divide o lado em 2 partes iguais).
• 3° Passo: ai ficou fácil. Se for dado o valor do lado desse triângulo, podemos aplicar as relações da trigonometria!

Teremos então o 60° e o 30°. Eles são conhecidos como ângulos notáveis. Agora só precisamos lembrar desses valores e substituir na relação trigonométrica.

Atenção!

• Se escolhermos o ângulo de 30°, a altura é o cateto adjacente (usaremos cosseno).
• Se escolhermos o ângulo de 60°, a altura é o cateto oposto (usaremos seno).
• Observe que X (o lado do triângulo) sempre será a hipotenusa.

Vamos escolher o 60° como referência. Ficará assim:

sen 60° = cat. oposto / hipotenusa

x√3 / 2 = h

Opa! Você já viu esse resultado antes… é exatamente igual à fórmula específica para calcular a altura do triângulo retângulo.

Tudo na matemática faz sentido e está relacionado!

Acabou! Vamos resumir:

Para finalizar, vamos só recapitular: em uma questão sobre como calcular a altura de um triângulo equilátero, você pode optar por 4 caminhos:

• Usar Teorema de Pitágoras.
• Usar trigonometria.
• Decorar a fórmula específica e substituir o valor dado.
• Usar a fórmula da área.

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Altura de um Triângulo Isósceles – Fórmulas e Exercícios

A altura de um triângulo isósceles é a distância perpendicular da base ao vértice oposto. Para calcular a altura, podemos usar o teorema de Pitágoras e derivar uma fórmula que depende do comprimento da base e do comprimento de um dos lados congruentes.

A seguir, aprenderemos como derivar a fórmula para a altura dos triângulos isósceles. Além disso, usaremos esta fórmula para resolver alguns exercícios práticos.

GEOMETRIA

Relevante para…

Aprender sobre a altura de um triângulo isósceles.

Conteúdo

1. Fórmula para a altura de um triângulo isósceles
2. Exercícios de altura de triângulos isósceles resolvidos
3. Exercícios de altura de triângulos isósceles para resolver
4. Veja também

GEOMETRIA

Relevante para…

Aprender sobre a altura de um triângulo isósceles.

Fórmula para a altura de um triângulo isósceles

A altura de um triângulo isósceles é calculada usando o comprimento de sua base e o comprimento de um dos lados congruentes. Podemos calcular a altura usando a seguinte fórmula:

$latex h= \sqrt- \frac^2>>>$

onde, a é o comprimento dos lados congruentes do triângulo e b é o comprimento da base do triângulo.

Derivação da fórmula de altura

Para derivar essa fórmula, podemos considerar o seguinte triângulo isósceles:

Desenhando uma linha que representa a altura, podemos ver que dividimos o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos congruentes. Podemos usar um dos triângulos obtidos e aplicar o teorema de Pitágoras para calcular a altura. Lembre-se de que o teorema de Pitágoras nos diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos lados. Então, temos: $latex =^2>+<<( \frac)>^2>$ $latex =^2>+ \frac^2>>$ $latex ^2>=- \frac^2>>$ $latex h= \sqrt<- \frac^2>>>$ Obtivemos uma expressão para a altura.

Exercícios de altura de triângulos isósceles resolvidos

Os exercícios a seguir usam a fórmula vista para encontrar a altura dos triângulos isósceles. Tente resolver os exercícios sozinho antes de olhar para a solução.

EXERCÍCIO 1

Qual é a altura de um triângulo isósceles que tem uma base de 8 m e lados congruentes de 6 m de comprimento?

Solução

• Base, $latex b=8$ m
• Lados, $latex a=6$ m

Portanto, usamos a fórmula de altura com estes valores:

A altura do triângulo é 4,47 m.

Como Achar a Altura de um Triângulo

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Neste Artigo:

Para calcular a área de um triângulo, você precisa conhecer a altura dele. Se essa informação não houver sido dada no problema, é fácil calculá-la com base no que você já conhece! Este artigo ensinará a você duas formas diferentes de descobrir a altura de um triângulo, dependendo de quais informações foram dadas.

Método 1 de 3:

Usando base e área para descobrir a altura

• A = área do triângulo.
• b = comprimento da base do triângulo.
• h = altura da base do triângulo.

• Qualquer lado do triângulo pode ser a base, não importando como ele tenha sido desenhado. Para visualizar esse conceito, imagine-se girando o triângulo até que o comprimento lateral conhecido seja o da parte de baixo.
• Por exemplo, se você sabe que a área de um triângulo é igual a 20, e um de seus lados tem medida 4, logo: A = 20 e b = 4.

• Em nosso exemplo: 20 = ½ (4) h
• 20 = 2 h
• 10 = h

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Método 2 de 3:

Descobrindo a altura de um triângulo equilátero

• Nesse exemplo, usaremos um triângulo equilátero com lados de medida 8.

Relembre o teorema de Pitágoras. O teorema de Pitágoras afirma que, para qualquer triângulo retângulo com catetos de medida a e b e uma hipotenusa de comprimento c, a 2 + b 2 = c. Podemos usar essa equação para descobrir a altura de nosso triângulo equilátero. [3] X Fonte de pesquisa

• Usando o triângulo equilátero de nosso exemplo, com lados de medida 8, c = 8 e a = 4.

• 4 2 + b 2 = 8 2
• 16 + b 2 = 64
• b 2 = 48

• b = √b(48) = 6,93