Como Calcular A Altura De Um Triângulo
Além disso, se conhecermos dois lados de um triângulo retângulo, usando o teorema de Pitágoras, facilmente encontramos o terceiro lado.
Conteúdo
Área do Triângulo
A área do triângulo pode ser calculada através das medidas da base e da altura da figura. Lembre-se que o triângulo é uma figura geométrica plana formada por três lados.
Contudo, há diversas maneiras de calcular a área de um triângulo, sendo que a escolha é feita de acordo com os dados conhecidos no problema.
Acontece que muitas vezes, não temos todas as medidas necessárias para fazer esse cálculo.
Nestes casos, devemos identificar o tipo de triângulo (retângulo, equilátero, isósceles ou escaleno) e levar em consideração as suas características e propriedades para encontrar as medidas que necessitamos.
Como calcular a área de um triângulo?
Na maioria das situações, usamos as medidas da base e da altura de um triângulo para calcular a sua área. Considere o triângulo representado abaixo, sua área será calculada, usando a seguinte fórmula:
Área: área do triângulo
b: base
h:altura
Área do Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo possui um ângulo reto (90º), e dois ângulos agudos (menores que 90º). Desta maneira, das três alturas de um triângulo retângulo, duas coincidem com os lados desse triângulo.
Além disso, se conhecermos dois lados de um triângulo retângulo, usando o teorema de Pitágoras, facilmente encontramos o terceiro lado.
Veja também: Trigonometria no Triângulo Retângulo
Área do Triângulo Equilátero
O triângulo equilátero, também chamado de equiângulo, é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos internos congruentes (mesma medida).
Neste tipo de triângulo, quando conhecemos apenas a medida do lado, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida da altura.
A altura, neste caso, o divide em outros dois triângulos congruentes. Considerando um desses triângulos e que seus lados são L, h (altura) e L/2 (o lado relativo a altura fica dividido ao meio), ficamos com:
Assim, substituindo o valor encontrado para a altura na fórmula da área, temos:
Área do Triângulo Isósceles
O triângulo isósceles é um tipo de triângulo que possui dois lados e dois ângulos internos congruentes. Para calcular a área do triângulo isósceles, utiliza-se a fórmula básica para um triângulo qualquer.
Quando queremos calcular a área de um triângulo isósceles e não conhecemos a medida da altura, também podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar essa medida.
No triângulo isósceles, a altura relativa a base (lado com medida diferente dos outros dois lados) divide este lado em dois segmentos congruentes (mesma medida).
Desta forma, conhecendo as medidas dos lados de um triângulo isósceles, podemos encontrar sua área.
Exemplo
Calcule a área do triângulo isósceles representado na figura abaixo:
Solução
Para calcular a área do triângulo usando a fórmula básica, precisamos conhecer a medida da altura. Considerando a base como o lado de diferente medida, iremos calcular a altura relativa a esse lado.
Lembrando que a altura, neste caso, divide o lado em duas partes iguais, usaremos o teorema de Pitágoras para calcular sua medida.
Área do Triângulo Escaleno
O triângulo escaleno é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos internos diferentes. Sendo assim, uma forma de encontrar a área desse tipo de triângulo é usar a trigonometria.
Se conhecermos dois lados desse triângulo e o ângulo entre esses dois lados, sua área será dada por:
Pela Fórmula de Heron também podemos calcular a área do triângulo escaleno.
Veja também: Classificação dos Triângulos
Outras fórmulas para calcular a área do triângulo
Além da encontrar a área através do produto da base pela altura e dividir por 2, podemos também utilizar outros processos.
Fórmula de Heron
Outra maneira de calcular a área do triângulo é pela “Fórmula de Heron“, também chamada de “Teorema de Herão“. Ela utiliza os semiperímetros (metade do perímetro) e os lados do triângulo.
S: área do triângulo
p: semiperímetro
a, b e c: lados do triângulo
Sendo o perímetro do triângulo a soma de todos os lados da figura, o semiperímetro representa a metade do perímetro:
Interessante notar que, nesta fórmula não há a necessidade de se conhecer a medida da altura (h), por isso, quando essa informação não é dada, o “Teorema de Heron” facilita encontrar a área do triângulo.
Veja também: Perímetro do Triângulo
Fórmula do Raio Circunscrito
Baseada na “Lei dos Senos” tem-se a “Fórmula do Raio Circunscrito” representada pela expressão:
A: área do triângulo
a, b e c: lados do triângulo
r: raio da circunferência circunscrita
Ela é utilizada quando o triângulo está inscrito numa circunferência.
Veja também: Semelhança de Triângulos
Exercícios de Vestibular com Gabarito
1. Enem – 2010
Em canteiros de obras de construção civil, é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer.
Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.
Ver Resposta
Alternativa e: ao triplo da área do triângulo MNC.
2. Cefet/RJ – 2014
Se ABC é um triângulo tal que AB = 3 cm e BC = 4cm, podemos afirmar que a sua área, em cm 2 , é um número:
a) no máximo igual a 9
b) no máximo igual a 8
c) no máximo igual a 7
d) no máximo igual a 6
Ver Resposta
Alternativa d: no máximo igual a 6
3. PUC/RIO – 2007
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo (em cm 2 ) é:
Ver Resposta
Alternativa c: 11
Para saber mais, leia também:
- Triângulo: tudo sobre este polígono
- Exercícios sobre triângulos explicados
- Área dos Polígonos
- Área do Quadrado
- Áreas de Figuras Planas
- Área de Figuras Planas – Exercícios
- Área do Retângulo
- Área e Perímetro
- Teorema de Pitágoras – Exercícios
- Geometria Plana
- Retângulo
- Prisma
- Fórmulas de Matemática
Teorema de Pitágoras: Altura e Área do Triângulo Equilátero
O Teorema de Pitágoras possui grande importância na construção de fórmulas, uma dessas generalizações acontece no estabelecimento de uma fórmula geral para calcular a altura e a área de um triângulo equilátero, esse tipo de triângulo possui os lados e os ângulos internos com medidas iguais.
Observe as demonstrações a seguir:
Altura do triângulo equilátero
Dado o triângulo ABC, vamos estabelecer uma expressão geral para o cálculo da altura.
Observe que a altura (h) do triângulo ABC, corresponde ao cateto do triângulo ADB, então podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular a altura (h) do triângulo ABC.
Área do triângulo equilátero
A área de um triângulo é definida pela metade do produto da área da base pela altura. Continuando a análise do triângulo ABC, vamos determinar uma expressão capaz de calcular a área de qualquer triângulo equilátero.
Podemos notar que as expressões estão todas em função da medida do lado do triângulo equilátero.
Exemplo 1
Determine a altura de um triângulo equilátero que possui perímetro igual a 30 cm.
Resolução:
Perímetro é a soma dos lados, então cada lado mede 10 cm.
Exemplo 2
Calcule a área de uma figura que possui o formato de um triângulo equilátero com lados medindo 6 m.
Exemplo 3
Calcule a área da região em negrito sabendo que o raio da circunferência vale 10 m e o lado do triângulo equilátero inscrito mede 7 m. Considere √3 = 1,7 e ∏ = 3,14.
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Área do triângulo Área da circunferência
Área em negrito
314 – 20,83 = 293,17m 2
Triângulo retângulo
Um triângulo é dito retângulo, se e somente se, um de seus ângulos internos for igual a 90°. Ou seja:
É chamado de Hipotenusa (c) o maior lado de um triângulo retângulo. Os outros dois lados menores são chamados de Catetos (a e b) que formam o ângulo de 90°. A soma dos ângulos internos de um triangulo retângulo é dada por:
Teorema de Pitágoras
Em um triangulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, ou seja, pela figura acima temos:
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Nesta representação abaixo de um triângulo retângulo temos que h é chamado de altura relativa à hipotenusa ou simplesmente a distancia da hipotenusa ao vértice formado pelos catetos; m e n são as projeções dos catetos, isto é, a altura h divide a hipotenusa em duas partes, m e n. Ao lado, as relações são dadas por:
Referências bibliográficas:
REZENDE, Eliane Q. F.; QUEIROZ, Maria L. B. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. Campinas: Editora UNICAMP, 2000.